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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 LGL7#$'L  
EpqW 5Mo  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  f;,@F<`  
.GP|6tD  
　　1、三角函数本质： !/Xyk:}  
='@u/V%  
　　三角函数的本质来源于定义 =pf$ K,  
$qA`+!fc  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 XA {,<YpE  
" 44C  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 RK!(#e  
 UfGJ 3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 65V/"#=i.f  
1~gtx 0(  
　　推导： w/J >~g'$  
:sZf\")eo  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 sVvDj)  
TiD7aTNw  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]0 *S`Q  
{CS4WgR`  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) u*Blj  
BVhpPd\G  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ZPjW/,XV^  
CehwnZAk '  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） wGH'54  
mLAG7nw  
　　[1] d \z.\  
y].wY;Kmx  
　　两角和公式 *g>Qqi'  
:{qGm~~nj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1i<C7RP  
pv~nCO|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  []\DF_ sps  
4lAj;$9&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB o. $=AT  
y;h4u[  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB M\0Bb9 &  
 !mKKd!r  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 7F@Ft.:"  
4+nZV4OuQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 1'o F7"C  
gD8yAiHGh  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ;U_*u;z  
4_+^tv,S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !h25{_ /  
;\J04fK3  
倍角公式 Sk@(=L$De  
St@lQ}  
　　Sin2A=2SinA•CosA _UIA:  
_**MYDAt  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _?~8/_U  
{e>)lou,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 7:?2TN :  
xf'PRHX  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） E[ G ]{,^  
.:B1Ipz(8  
三倍角公式 SC27?^\  
lVNwqiGN  
　　 eWj|0Z7=:  
. \YXeS  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 2wu_7:i8E  
*-5 d2e+)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) a Xm N  
N<6j,/W  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) JFU,qU5  
 HgwPFh~  
三倍角公式推导 LZ{" |3S  
:qY>B~_E  
　　sin3a ]il*l'X|T  
 oxdz|xK  
　　=sin(2a+a) D(( rH[]#  
AYlSnCL$  
　　=sin2acosa+cos2asina iIr"hv4~R  
K(bz=ga1P  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 7z%JL[cXR]  
`nBSc 4  
　　=3sina-4sin³a gP)qi* h  
!USC I>  
　　cos3a 5Yf!y9<-  
.) |voA#/  
　　=cos(2a+a) L0Z*~ {$  
5v6oS YV  
　　=cos2acosa-sin2asina BA[@vz.  
ILy%vd]>  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa t{qIDt6X  
RX67B0oS  
　　=4cos³a-3cosa oSt4u  
7EO</VURe  
　　sin3a=3sina-4sin³a +#<9}~^  
6]#dF~n@  
　　=4sina(3/4-sin²a) B=|?C%y=A  
azb9MXm  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] *kt:v37  
-v~H>:,F?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) HB8O1.w.rZ  
nHM3loYy  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) E9n$S'tzk  
toK1DB82>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !<uW}aR$L  
A o$z  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) hkeDHGot?  
ZOh?Z!d`  
　　cos3a=4cos³a-3cosa =5hHW f$  
SeT-%;)U  
　　=4cosa(cos²a-3/4) *?GphB~  
LiY9;=t]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] no[c^oa  
ZMg)a^ e  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) eP)!0XX, D  
GN;1n .@-  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \Y'{8o4  
#NA6~c!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} RAS_]S  
TC?SZPg  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 8:y2T  
MIX8a/$v  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] s"_.plKk  
w^ZHp\!+  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .:$#\z d  
9jeXF_9  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) .ugE>YwDV  
z(G $&gS8n  
　　上述两式相比可得 @SGh=KB7U  
K4Lw"(VA  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )Hh/_ |  
Qr}mljZ  
半角公式 Izv]w5'  
&Zs3Z4? sg  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); KDXdy   
9c5P]1  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. k*nN<4:F_r  
1.`@  
和差化积 s.]qKpY  
]Sj54l6(G  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \ 5Tz $  
g1s/FdO:N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] . z<gvo  
=E q3(HqP  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /q<-gx&\r  
O\b {pF  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :6*Md6A0  
C 8%w*0  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $ly>kEemD  
=0(|f1Z]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) |FsMee@>Z  
,:} j><  
积化和差 2tag ~As  
A@VYnNYTl*  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] h?2fOV`|h&  
z&k`7*X6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 'SwJ`^pS  
x|A!   
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Iom [*vWw  
{c.`y  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] }oCj1pw  
(\S^tXXBR  
诱导公式 Ycg'+4"/  
Y(SxE~to  
　　sin(-α) = -sinα ++[j}%  
U?BF@t}  
　　cos(-α) = cosα p5lbIaY  
k`S#1X% $j  
　　sin(π/2-α) = cosα 1CFrI^- C  
s /Tn eQ  
　　cos(π/2-α) = sinα !X8 j_xDT  
be%pq9  
　　sin(π/2+α) = cosα ?=> ~0tr  
TI*Ia  
　　cos(π/2+α) = -sinα O.;VM [R  
!G@9/^ f  
　　sin(π-α) = sinα #%i[*]6 P  
m*+O nf}(  
　　cos(π-α) = -cosα Dr{L  
qJFnrUCNR  
　　sin(π+α) = -sinα ^<AMTJ  
ew CLP  
　　cos(π+α) = -cosα Y4C'~T-\dQ  
?t ,T$@_f.  
　　tanA= sinA/cosA O~Hzv0?]f  
ZrAl 4TP  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~$r@\Lo  
s$neS0l  
　　tan（π/2－α）＝cotα wX7`%Bg#(9  
TKKx/^EY  
　　tan（π－α）＝－tanα h n6*F]  
GwfQ0Ttg  
　　tan（π＋α）＝tanα opTxQNU#  
]oN[E:  
万能公式 < h6F  
bOI^b{D0  
　　 ?O>U~ Z  
x<jGO:]  
其它公式 i0Ed   
lP:c4T^a5  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 `Z/&S^  
[ SNZNx  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ,o<r%uqx  
;zA^yXH8  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pId U9#i  
uQ=~3,yY9i  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 LL;!l]]#(  
g(>"k8gF  
　　对于任意非直角三角形,总有 a6+Qy|"o  
>mGELz ~d  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6p@KB1  
]E_x?}>lg  
　　证: sA8g=  
7Z% [&  
　　A+B=π-C I3SS%Eos4x  
mqJGvm;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 'eLUCzy  
.p*]le#b\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) A=+` 1E~'  
~ o"@sv  
　　整理可得 2WwL'Pf  
R'2HWAU_?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *hTG  
2HI{o [:  
　　得证 p%?${%hwv  
g{K.zy>x  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 E=KUspU  
'@X%yn  
其他非重点三角函数 5pn0=vB6   
N@=tzN<  
　　csc(a) = 1/sin(a) qZ~2||:Kw<  
k1=W2"}T  
　　sec(a) = 1/cos(a) dji~yOCs>  
&Q\$Idw  
　　 u[[nf*p  
W8?e$8p  
双曲函数 ngxl7m  
vtP2nO&  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0pLa1&@Z  
0|Bg PPu  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 sl_wG#l$P  
Q} Z1'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) #<8~T*FM\/  
,XJN@QH  
　　公式一： XS0cmA% yI  
x*kY] *  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： [E\h+k%O  
[ @S1+R<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα <m"fW7H@O  
/@v,1~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα MDG0V+c2  
!j/z@ (hSp  
　　tan（kπ＋α）= tanα ET_$/fF  
]E:$X,KqIm  
　　cot（kπ＋α）= cotα :z=YBIav  
N7_fZ/"  
　　公式二： ^#ChVLqv  
ZKkl~ g  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： o'w&Xy?n  
R{sIjg7;  
　　sin（π＋α）= -sinα WG-v .vft  
"2PBsx  
　　cos（π＋α）= -cosα % \X0s&IQ  
.$"7_@<v  
　　tan（π＋α）= tanα }DGm>2 (  
/U Ew<EL7  
　　cot（π＋α）= cotα )]d M8G'  
&QVi9k^  
　　公式三： T$-2P  
BdTSY  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： k dusw  
SSm"U8)  
　　sin（-α）= -sinα WW&)>'OM  
PN2)D%Xw  
　　cos（-α）= cosα }'!7Zi p+t  
% CSboMY  
　　tan（-α）= -tanα 1dTG 9x'  
TCX4;k)&R  
　　cot（-α）= -cotα \4&~B #  
$ GN]  
　　公式四： w6\Ek ,  
}OT]?,d%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &m^]eje  
`wazK]  
　　sin（π-α）= sinα Jd5 VMV]a  
yPRg   
　　cos（π-α）= -cosα K37NY  
xb (Xy  
　　tan（π-α）= -tanα b u{ihw"  
N)]mssO>  
　　cot（π-α）= -cotα ]$1g9e  
6fl&/Bf2  
　　公式五： @_No"sy  
[`oy@O  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： N;ul{+"&  
;0FkU 9G  
　　sin（2π-α）= -sinα =@Kw*]  
$(d:2_  
　　cos（2π-α）= cosα !6nhHC0  
&-O7vH  
　　tan（2π-α）= -tanα 9kR[?"pf  
O X_- J  
　　cot（2π-α）= -cotα [Mb [ONq_  
W P&"YjG  
　　公式六： kJ9Q'D  
c->$=@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @DJ%}@U  
Ln>hi`jh  
　　sin（π/2+α）= cosα P1Q"nSkD@  
e* NuYcgY  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~SWk95\C  
KVTk,qI  
　　tan（π/2+α）= -cotα A%)+PHA%o  
F\VDVA.>  
　　cot（π/2+α）= -tanα jdlC?c}  
mDam  
　　sin（π/2-α）= cosα mf\vmax  
)/8-itx$_  
　　cos（π/2-α）= sinα ; 26cTK]  
:zk9:FlD  
　　tan（π/2-α）= cotα tn +Z4>`  
%v1B aaJ|Y  
　　cot（π/2-α）= tanα VOUk8=&W  
mhj$-t  
　　sin（3π/2+α）= -cosα  A3&<Tck  
sRY{~XH  
　　cos（3π/2+α）= sinα n>orn  
!IC,}j.^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα jbnqI/+g"-  
[GU @g  
　　cot（3π/2+α）= -tanα E:oj5e.  
o69Oh/3D  
　　sin（3π/2-α）= -cosα `mIUPq~A  
~N!m2jJ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα g)o}%<}E  
M6>0[6C  
　　tan（3π/2-α）= cotα i.yJGd&04  
oC-&<_]  
　　cot（3π/2-α）= tanα (9CsE?  
# 6@}w  
　　(以上k∈Z) h- Ad8(8  
tK8?G5Q)  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3e_.+}|~  
jl]$ ^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = m -@VSu]  
n` { C>K  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <?UJE O  
HhW{( s  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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